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幾何構造分析基本原理

01幾何“變不變”

相信在很小的時候，家里人或是老師都會告訴我們為什么塔吊之類的設施都會焊接成三角形的形式，因為三角形最穩定嘛。

其實，這其中就包含了結構分析原理中的一個重要概念：幾何可變體系與幾何不變體系。毫無疑問的是，我們不能把結構架設成幾何可變體系，否則外力一旦施加上去，它就會迅速變形失去其功能，甚至瞬間倒塌，比如下面圖中所展示的（虛線為變形后狀態）。

那么，我們要如何將上面的結構變得“穩固”呢？三角形是我們最容易想到的方法了。

其實，結構的幾何構造分析的主要目的就在于此，檢查并設法保證結構的幾何不變性。但是，上面的例子結構本身太過簡單，并且分析方法太過于直覺化，對于更復雜，不這么直觀的結構而言，比如下圖這樣：

這樣的所謂“一眼看”的分析方法就會變得不那么嚴謹，于是，一個更具有一般性的分析方法就變得尤為重要。

在正式提出分析方法之前，有必要先介紹兩個重要概念：一是自由度；二是約束。

學習一門新學科時，大多數人的內心都對這種新名詞，新概念充滿了排斥感，其實這些新的概念也只是第一次接觸的時候會花些心思，等到正式運用時，只會更方便。就像你第一次接觸方程時，老師給你傳遞一大堆概念和定義，但是現在我們只用提到方程這一概念，你就知道如何運用處理問題是一個道理。

02自由度  

在平面內（之后討論的都是平面，而非三維空間），假設有一個自由點可以在平面內自由移動，我們可以用幾個數值對其位置狀態進行描述呢？這是一個不太復雜的問題，二維平面之所以叫二維，就是因為在二維平面內可以用兩個量對面內任意點的位置進行描述，對此，我們稱這個自由點在平面內的自由度為2。盡管我還沒有給出自由度的直接定義，但相信讀者已經大概從這里有了自由度的初步“印象”了，就是自由的程度嘛。

可是我們都知道，結構并不是一個點，比如我們在上圖中將點換成一個矩形，我們稱這個矩形叫剛片（剛度大，不會變形的平面剛體），讀者并不需要對矩形這個描述過于留下刻板印象，因為剛片是一個統稱，有的時候一條軸線也可以被稱為剛片，一個剛架也可以被稱為剛片，讀者只用留下剛片是具有體積、不會變形這一特征的印象即可。

那么，剛片在平面內具有幾個自由度呢？如果你的回答是2的話，恭喜你回答對一半了，因為剛片在平面內也具有自由點的性質，可以在平面內自由移動。不過剛片不止是一個點，是具有空間形狀的，那么相對于點而言就多了一個運動狀態——轉動（比如時鐘里時針、分針繞中點旋轉），所以對平面中的剛片進行空間描述就需要用到三個度量值，它的自由度是3。

一般來說，一個體系如果有n 個獨立的運動方式，那么這個體系就有n 個自由度。比如，一般在工廠里的一些機械設施，我們是希望它們能“動”的，但是又希望它們只按照某一規定好的形式運動（比如說傳送帶），那么這種機構就有一個自由度。

而對于結構而言，我們是不能允許結構發生運動的，所以幾乎所有結構的自由度都為0，如果一個結構的自由度大于0了，那這個體系就是幾何可變體系。

03約束   

萬事萬物有了自由，自然就有了約束，也很容易提前猜到，既然把約束放在自由度后面講，那么約束一定會減少自由度的大小。

支桿約束：

比如一根桿AB（用兩個端點編號命名），在平面內是具有三個自由度的（可被看作是一個剛片），那么如果這樣的桿件被支座可動鉸支座（又名鏈桿或支桿）與基礎連接住，此時的自由度又會有什么樣的變化呢？

由圖可知，此時AB桿的運動方式只有兩種了：一是整個桿通過A點繞C點轉動，二是整個桿件繞A點轉動。因此，此時AB桿的自由度為2，在此就可以得到一個結論：一個支桿（上圖中的AC部分），相當于一個約束，可以減少一個自由度（對于上面的原因了解即可，更重要的是這個結論）。

鉸： 

假如空間中有兩個獨立的桿件AB、BC，那么這個體系就具有6個自由度（兩個桿件各有3個自由度）。那如果我們用一個鉸把兩個桿件連在一起，自由度又會有什么樣的變化呢？

對于這個“雙節棍”，它并不是說不能移動了，它依然可以移動，不過是兩個在一起整體移動，所以對于整個體系而言可以看作是：包含了AB作為剛片的三個自由度加上BC只能繞B旋轉的一個自由度（因為BC移動部分的自由度可以用AB的移動進行描述），共4個自由度。

其實并不難理解，你可以這樣類比，公交車在地面上有三個自由度（可移動，可轉彎），你也有三個自由度（可移動，原地轉圈），可是你上了公交車后，你的空間移動的量值其實就是公交車的移動了。

同樣可以得到一個結論：一個鉸相當于兩個約束，可以減少兩個自由度。

剛結：

那如果兩個桿件是被剛結在一起，像下面“回旋鏢”一樣的造型呢？

很容易，新的體系其實可以看成是一個更大的剛片，只有三個自由度。

同樣可以得到一個結論：一個剛結點相當于三個約束，可以減少三個自由度。

我們匯總一下上面提到的三個結論：

一個支桿相當于一個約束，可以減少一個自由度；

一個鉸相當于兩個約束，可以減少兩個自由度；

一個剛結點相當于三個約束，可以減少三個自由度。

有了自由度和約束的概念，我們就可以站在更科學的角度看待幾何可變以及幾何不變體系，對于更復雜的結構也有了更方便的工具可以運用了。